Question

5．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）说明方程x²-3x+2=0是倍根方程；
（2）说明：若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m²+5mn+n²=0；
（3）如果方程ax²+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，试说明方程ax²+bx+c=0的一个根为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；
（2）根据倍根方程的定义得到x₁，x₂，得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，即可得到4m²+5mn+n²=0；
（3）由方程ax²+bx+c=0是倍根方程，得到x₁=2x₂，有已知条件得到得到抛物线的对称轴x=$\frac{5}{2}$，于是求出x₁=$\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）是倍根方程，理由如下：
解方程x²-3x+2=0，得x₁=1，x₂=2，
∵2是1的2倍，
∴一元二次方程x²-3x+2=0是倍根方程；
（2）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∴4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0；
（3）④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴设x₁=2x₂，
∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，
∴方程ax²+bx+c=0的一个根为$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．