Question

17．若无论a取什么实数，点P（a-1，2a-6）都在直线l上，点Q（m，n）是直线的一个动点，则$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），再分别令a=1，a=2求出P点坐标，进而可得出直线l的解析式，再把点Q（m，n）代入代数式即可得出结论．

解答 解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵无论a取什么实数，点P（a-1，2a-6）都在直线l上，
∴当a=1时，P（0，-4），
当a=2时，P（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=2x-4．
∵点Q（m，n）也是直线l上的点，
∴2m-4=n，
∴$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（2m-4）^{2}}$=$\sqrt{5{m}^{2}-16m+16}$=$\sqrt{5（m-\frac{8}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故答案为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．