Question

18．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形；⑤S_△CFG=$\frac{18}{5}$．其中正确的结论是①②③⑤．（只填序号）．

Answer 1

分析 由翻折的性质可得AF=AD，∠AFE=∠D=90°，DE=EF，由“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；由全等三角形对应边相等可得BG=FG，再求出DE的长，设BG=x，得出CG、EG，由勾股定理列出方程求出x，得出BG=FG=CG，得出②正确；由等边对等角可得∠GCF=∠GFC，由全等三角形对应角相等可得∠AGB=∠AGF，由三角形的外角性质得出∠BGF=∠GCF+∠GFC，得出∠AGB=∠GCF，即可证出AG∥CF，得出③正确；然后求出△CEG的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△CGF的面积，得出⑤正确；④错误．

解答 解：∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=∠D=90°，DE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴BG=FG，
∵AB=6，CD=3DE，
∴DE=2，CE=6-2=4，
设BG=x，则CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△CEG中，CG²+CE²=EG²，
即（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得：x=3，
∴BG=FG=CG=3，故②正确；
∴∠GCF=∠GFC，
由Rt△ABG和Rt△AFG得，∠AGB=∠AGF，
由三角形的外角性质，∠BGF=∠GCF+∠GFC，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，故③正确；
△CEG的面积=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴△CFG的面积=$\frac{3}{2+3}$×6=$\frac{18}{5}$，故⑤正确；
④不正确；
故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．