Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BD=a，BC=b，求AC的长．

Answer 1

考点：梯形,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：首先得出A，B，C在以点D为圆心DC长为半径的圆上，延长AD交圆D于点E，连接AC，EC，进而利用等腰三角形的性质以及平行线的性质求出∠BDC=∠CDE，即可得出△CDB≌△CDE（SAS），再利用勾股定理得出AC的长．

解答：解：由题意可得：A，B，C在以点D为圆心DC长为半径的圆上，延长AD交圆D于点E，
连接AC，EC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠CDE，
∵BD=AD，
∴∠DBA=∠DAB，
∴∠BDC=∠CDE，
在△CDB和△CDE中

BD=DE ∠BDC=∠CDE CD=DC

，
∴△CDB≌△CDE（SAS），
∴BC=EC=b，
∵AE=AD+DE=2a，
故在Rt△ACE中．
AC=

AE2-EC2

=

4a2-b2

．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．