Question

4．如图，点M在BN上，△ACM、△CBN是等边三角形，试证明：（1）AN=BM；（2）AN+MN=CN；（3）AN∥BC．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠NCB=60°，证出∠ACN=∠BCM，由SAS证明△ACN≌△BCM，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出AN=BM，证出△CBN是等边三角形，得出BN=CN，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出∠ANC=∠B，∠B=∠BCN=60°，得出∠ANC=∠BCN，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵△ACM、△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠BCM，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠BCM}\\{BC=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（SAS），
∴AN=BM；
（2）由（1）得：△ACN≌△BCM，
∴AN=BM，
∴AN+MN=BM+MN=BN，
∵△CBN是等边三角形，
∴BN=CN，
∴AN+MN=CN；
（3）由（1）△ACN≌△BCM，
∴∠ANC=∠B，
∵△CBN是等边三角形，
∴∠B=∠BCN=60°，
∴∠ANC=∠BCN，
∴AN∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．