Question

9．对称轴x=1的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B，其中点A（-1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）设点Q是线段BC上的任意一点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴方程和点A的坐标来求该抛物线的解析式；
（2）由（1）中的抛物线解析式求得点B、C的坐标，据此求得直线BC的解析式；
（3）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD=-x-3-（x²+2x-3），进而求出最值．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=1}\\{0=1-b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
则该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）由（1）中的解析式得到：y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），则B（3，0）．
令x=0，则y=-3，
故C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+t}\\{-3=t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
所以直线BC的解析式为：y=x-3；

（3）设点Q的坐标为（x．y），0≤x≤3．
则有QD=（x²-2x+3）-（x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-3≤-$\frac{3}{2}$≤0，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值$\frac{9}{4}$．
∴线段QD长度的最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 此题主要考查了二次函数最值问题以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，正确得出QD的解析式是解题关键．