Question

4．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2$\sqrt{6}$，则MF的长是$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 设MD=a，MF=x，利用△ADM∽△DFM，得到a²=$\sqrt{15}$x，利用△DMF∽△DCE，则$\frac{MD}{DC}$=$\frac{MF}{EC}$，即：$\frac{MD}{MF}$=$\frac{DC}{EC}$．得到a与x的关系式，化简可得x的值，得到MF=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

解答 解：∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，
∴AB=AM，BE=EM=3，
又∵AE=2$\sqrt{6}$，
∴AM=$\sqrt{A{E}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{24-9}$=$\sqrt{15}$，
设MD=a，MF=x，
∵在△ADM和△DFM中，∠AMD=∠DMF，∠ADM=∠DFM
∴△ADM∽△DFM，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{FM}{DM}$，
∴DM²=AM•MF，
∴a²=$\sqrt{15}$x，
∵∠DMF=∠C，∠MDF=∠MDF，
∴△DMF∽△DCE，
∴$\frac{MD}{DC}$=$\frac{MF}{EC}$，即：$\frac{MD}{MF}$=$\frac{DC}{EC}$．
∴$\frac{a}{x}$=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{（3+a）^{2}-15}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\sqrt{15}x\\}\\{\sqrt{15}x=a•\sqrt{（3+a）^{2}-15}}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{x=\frac{\sqrt{15}}{15}}\end{array}\right.$，
故答案是：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．