Question

20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，O在斜边AB上，半径为4cm的圆O过点B，切AC于点D，交BC于点E．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：连接OE、OD．由切线的性质可知OD⊥AD，依据含30°直角三角形的性质可求得OA的长，从而可求得AB的长，然后在三角形ABC中依据含30°直角三角形的性质可求得BC的长，接下来，证明△OBE为等边三角形，从而可求得BE的长，依据EC=BC-BE可求得EC的长；
（2）如图2所示：连接OD、OE，过点E作EF⊥OD，垂足为F．在Rt△OEF中，先求得EF的长度，然后依据S_阴=S_梯形ECDO-S_扇形EOD求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：连接OE、OD．

∵AC圆O相切，D为切点，
∴OD⊥AD．
∵在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=4，
∴OA=8．
∴AB=8+4=12．
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，
∴BC=6．
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠B=60°．
又∵OB=OE，
∴△OBE为等边三角形．
∴BE=OE=0B=4．
∴EC=BC-BE=6-4=2．
（2）如图2所示：连接OD、OE，过点E作EF⊥OD，垂足为F．

∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC．
∴∠B+∠BOD=120°．
∴∠BOD=120°．
∵△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°．
∴∠EOF=60°．
在Rt△OEF中，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=2$\sqrt{3}$．
∴S_阴=S_梯形ECDO-S_扇形EOD=$\frac{（2+4）×2\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用以及不规则图形的面积计算方法，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．