Question

如图，点P是函数y=

2

x

上第一象限上一个动点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0）．
（1）若△PAB是直角三角形，请直接写出点P的坐标

 

：
（2）连结PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t．请写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）阅读下面的材料回答问题
阅读材料：当a＞0时，a+

1

a

=（

a

）²-2+（

1

a

）²+2=（

a

-

1

a

）²+2≥2，
因为（

a

-

1

a

）²≥0，当a=1时，（

a

-

1

a

）²=0，
所以a=1时，a+

1

a

有最小值为2．
根据上述材料在（2）中研究当t为何值时△PAB的面积S有最小值，并求出S的最小值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）当∠PAB=90°时，利用△OAB为等腰直角三角形得到∠OAB=45°，则PA与y轴的夹角为45°，此时P点的纵坐标比横坐标大1，设P（a，a+1），然后利用a（a+1）=2求出a=1得到P点坐标为（1，2）；同理可得当∠PBA=90°时，P点坐标为（2，1）；由于直线y=x与反比例函数的交点坐标为（

2

，

2

），所以反比例函数图象上到原点的最近距离为2，而AB=

2

，则以AB为直径的圆与反比例函数图象没有公共点，所以∠APB不等为直角；
（2）连结OP，AB，根据反比例函数图象上点的坐标特征可设P点坐标为（t，

2

t

），利用三角形面积公式和S=S_△PAO+S_△POB-S_△OAB求解；
（3）由于S═

t

2

+

1

t

-

1

2

，根据阅读材料得到当t＞0时，

t

2

+

1

t

=（

t 2

-

1 t

）²+

2

，利用非负数的性质得当t=

2

时，

t

2

+

1

t

有最小值为

2

，所以t=

2

时，S有最小值为

2

-

1

2

．

解答：解：（1）当P点坐标为（2，1）或（1，2）时，△PAB是直角三角形；
故答案为（2，1）或（1，2）；
（2）连结OP，AB，如图，设P点坐标为（t，

2

t

），
S=S_△PAO+S_△POB-S_△OAB
=

1

2

×1×t+

1

2

×1×

2

t

-

1

2

×1×1
=

t

2

+

1

t

-

1

2

=

t2-t+2

2t

（t＞0）；
（3）当t＞0时，

t

2

+

1

t

=（

t 2

）²-

2

+（

1 t

）²+

2

=（

t 2

-

1 t

）²+

2

，
因为（

t 2

-

1 t

）²≥0，当

t

2

=

1

t

，即t=

2

时，（

t 2

-

1 t

）²=0，
所以当t=

2

时，

t

2

+

1

t

有最小值为

2

，
所以t=

2

时，S有最小值为

2

-

1

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；理解坐标与图形的性质；会利用非负数的性质解决最值问题．