Question

1．已知：∠A=60°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE交CF于O，求证：OE=OF．

Answer 1

分析 连接OA，由三角形内角和定理和角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB=60°，OA平分∠BAC，再由∠A+∠EOF=180°，得出点A、E、O、F四点共圆，得出$\widehat{OE}=\widehat{OF}$，即可得出结论．

解答 证明：连接OA，如图所示：
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，．
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，OA平分∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，∠EAO=∠FAO=30°，
∴∠EOF=∠BOC=180°-60°=120°，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴点A、E、O、F四点共圆，
∵∠EAO=∠FAO，
∴$\widehat{OE}=\widehat{OF}$，
∴OE=OF．

点评 本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．