Question

在平面直角坐标系中A（2，-3），B（4，-1），若C（a+3，0），D（a，0），则当a=

 

时四边形ABCD周长最短．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B′（5，3），连接BB′，与x轴交于点C，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到DA′=CB′=DA，则AD+BC=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AD+CD最小，即四边形ABCD的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=4x-17，把C（a+3，0）代入解析式即可求得a的值．

解答：解：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B′（5，3），连接BB′，与x轴交于点C，过A′作A′D∥BB′交x轴于D，如图，
∴DA′=DA，
∵A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴DA′=CB′，
∴DA=CB′，
∴AD+BC=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（4，-1）、B′（5，3）分别代入得

4k+b=-1 5k+b=3

，
解得k=4，b=-17，
∴直线BB′的解析式为y=4x-17，
∵C（a+3，0），
∴4（a+3）-17=0，
解得a=

5

4

，
故答案为

5

4

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．