题目内容
14．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=8-2t，AP=2+t．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，
①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
②使四边形AQMK为正方形，则AC=8$\sqrt{2}$．
分析 （1）由DM=2t，根据AM=AD-DM即可求出AM=8-2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6-t，则AP=AD-DP=2+t；
（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6-t=8-（6-t），解方程即可；
（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6-t-2t=8-（6-t），求解即可，
②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．
解答 解：（1）如图1．
∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=8-2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，
∴四边形CNPD为矩形，
∴DP=CN=BC-BN=6-t，
∴AP=AD-DP=8-（6-t）=2+t；
故答案为：8-2t，2+t．
（2）∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，
∴6-t=8-（6-t），解得t=2，
（3）①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：
∵NP⊥AD，QP=PK，
∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，
∴6-t-2t=8-（6-t），解得t=1，
②要使四边形AQMK为正方形．
∵∠ADC=90°，
∴∠CAD=45°．
∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，
∵AD=8，
∴CD=8，
∴AC=8$\sqrt{2}$．
故答案为：8$\sqrt{2}$．
点评 本题是四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
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