Question

10．一根圆管的横截面积如图所示，圆管内原有积水的水面宽AB=40cm，水深EF=10cm，当水面上升10cm（即EG=10cm）时，水面的宽CD是多少（结果保留小数点后一位）

Answer 1

分析 连接OA、OC．设⊙O的半径是R，则OE=R-10，OG=R-20．根据垂径定理，得AE=20cm．在直角△AOE中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角△COG中，根据勾股定理求得CG的长，从而再根据垂径定理即可求得CD的长．

解答 解：如图所示，连接OA、OC．
设⊙O的半径是R，则OE=R-10，OG=R-20．
∵OH⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=20cm．
在直角△AOE中，根据勾股定理，得
R²=20²+（R-1O）²，
解得R=25（cm）．
∴OG=25-20=5，
在直角△COG中，根据勾股定理，得
CG=$\sqrt{{R}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-{5}^{2}}$=10$\sqrt{6}$cm．
根据垂径定理，得CD=2CG=20$\sqrt{6}$cm．
故此时水面CD的宽是20$\sqrt{6}$cm．

点评 此题综合考查了勾股定理和垂径定理的应用．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．