Question

6．如图，已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+c经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（与B点不重合）．连接AC，AO：CO=1：3．
（1）求△ABC的面积；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上，是否存在与点C不重合的一点P，使PAB的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求B、C坐标，再根据AO：CO=1：3求出A点坐标，则OC、OA、OB全部求出，△ABC的面积自然求出；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）先假设存点P，设出P点坐标，利用PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；

解答 解：（1）∵直线y=-x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∴CO=3，
∵AO：CO=1：3，
∴AO=1，即：A（-1，0），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×OC×（OA+OB）$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．
（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（3）在抛物线上存在点P使△PAB的面积与△ABC的面积相等．
设点P的纵坐标为y_P，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：
$\frac{1}{2}×4×{y}_{P}=6$，解得：y_P=3或y_P=-3．
当y_P=-3时，-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2
当y_P=3时，-x²+2x+3=-3，
解得：${x}_{3}=1+\sqrt{7}$，x${x}_{4}=1-\sqrt{7}$，
综上所述，点P的坐标为：（2，3）或（$1+\sqrt{7}$，-3）或（$1-\sqrt{7}$，-3）

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、以及抛物线上满足特定的面积等式条件的动点坐标的求法，难度适中．第（3）问是特殊动点的存在性问题，其解答的基本思路是利用所给定的条件建立方程求解．