题目内容
1．设抛物线y=a（x-m）2+n（m≠0）与y轴交于点A，顶点为B，点A、B关于原点的对称点分别为C、D．称直线AB为抛物线的伴随直线，四边形ABCD为抛物线的伴随四边形．（1）求抛物线y=（x-2）2+1的伴随直线的解析式，伴随四边形的顶点坐标．
（2）若抛物线y=a（x-m）2+n（m≠0）的伴随直线是y=-2x+5，试解决下列问题：
①若伴随四边形的面积为5，求此抛物线顶点坐标；
②若伴随四边形ABCD是矩形，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个以PD为底边的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先根据二次函数的性质确定A（0，5），而B（2，1），再利用关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标特征得到C（0，-5），D（-2，-1），然后利用待定系数法可求出直线AB的解析式为y=-2x+5，
（2）①先根据一次函数图象上点的坐标特征得到A（0，-5），利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C（0，-5），而B（m，n），由与ICI函数解析式得n=-2m+5，于是根据S△ABC=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD得到$\frac{1}{2}$•（5+5）•|m|=$\frac{1}{2}$•5，解得m=±$\frac{1}{2}$，再分别计算对应的n的值，从而可得此抛物线顶点坐标；
②如图，根据矩形的性质得BD=AC=10，而B（m，n），D（-m，-n），根据两点间的距离公式得到（m+m）2+（n+n）2=102，把n=-2m+5代入整理得m2-4m=0，解得m1=4，m2=0（舍去），所以B（4，-3），接着以B点为圆心，10为半径画弧交直线x=4于P点，则△BPD是一个以PD为底边的等腰三角形，然后写出P点坐标即可．
解答 解：（1）当x=0时，y=（x-2）2+1=5，则A（0，5），而B（2，1），
所以C（0，-5），D（-2，-1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，5），B（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-2x+5，
所以抛物线y=（x-2）2+1的伴随直线的解析式为y=-2x+5，伴随四边形的顶点坐标分别为（0，5），（2，1），（0，-5），（-2，-1）；
（2）①当x=0时，y=-2x+5=5，则A（0，-5），
所以C（0，-5），
而B（m，n），
∴n=-2m+5，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD，
∴$\frac{1}{2}$•（5+5）•|m|=$\frac{1}{2}$•5，解得m=±$\frac{1}{2}$，
当m=$\frac{1}{2}$时，n=-2×$\frac{1}{2}$+5=4；当m=-$\frac{1}{2}$时，n=-2×（-$\frac{1}{2}$）+5=6，
所以此抛物线顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，4）或（-$\frac{1}{2}$，6）；
②存在．
如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=5+5=10，
而B（m，n），D（-m，-n），
∴（m+m）2+（n+n）2=102，
把n=-2m+5代入整理得m2-4m=0，解得m1=4，m2=0（舍去），
则B（4，-3），
抛物线的对称轴为直线x=4，
∵点P在直线x=4上，BP=BD=10，
∴点P的坐标为（4，7）或（4，-13）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、等腰三角形的性质和矩形的性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；提高阅读理解能力．
状元及第系列答案
同步奥数系列答案
第17届运动会于2014年09月19日～2014年10月04日在韩国仁川举行，图1是本届亚运会的吉祥物，象征着希望、速度和乐观向上的体育精神，某商店将吉祥物按成本价提高40%后标价，又以9折（即标价的90%）优惠卖出，结果每个吉祥物的售价为52元，设吉祥物的成本价为x元，可列方程为（ ）| A． | （1+40%）x-52=90%x | B． | 40%x×90%-x=52 | C． | （1+40%）x×90%+x=52 | D． | （1+40%）x×90%=52 |
如图，已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（与B点不重合）．连接AC，AO：CO=1：3．
如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：