Question

18．如图，B（6，0），E（0，6），直线y=3x+3与x轴、y轴交于A、C两点，∠CPE=∠CAB
（1）求∠PCA的度数；
（2）求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）延长线段PC与x轴交于点M（m，0）（m＜0），作线段OB中点N，连接CN，得到△BEO是等腰直角三角形，由直线y=3x+3，求得点A（-1，0），点C（0，3），根据三角形的中位线得到CN∥EB，由平行线的性质得到∠EBO=∠CNM，由于∠CPE=∠EBO+∠AMC，∠CAB=∠ACM+∠AMC 推出∠CPE=∠CAB，得到∠ACM=∠OBE=45°，即可得到结论；
（2）通过△CNM∽△ACM 得到$\frac{CN}{AC}=\frac{CM}{AM}$，根据勾股定理得到CN=$\sqrt{2}OC=3\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{3}^{2}+{m}^{2}}$，于是得到$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{-1-m}$，求点M（-6，0），得到直线CM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+3，直线BE的解析式为：y=-x+6，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）延长线段PC与x轴交于点M（m，0）（m＜0），作线段OB中点N，连接CN，
∵B（6，0），E（0，6），
∴OB=OE=6，
∴∠OEB=∠OBE=45°，
 在直线y=3x+3中，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
即点A（-1，0），点C（0，3），
∴OC=3，
∵E（0，6），
∴OE=6，
∴OC=CE，
∵ON=NB，
∴CN∥EB，
∴∠EBO=∠CNM，
∵∠CPE=∠EBO+∠AMC，∠CAB=∠ACM+∠AMC，
又∵∠CPE=∠CAB，
∴∠ACM=∠OBE=45°，
∴∠PCA=135°；

 （2）∵∠EBO=∠ACM，
∴∠CNM=∠ACM，
又∵∠AMC是公共角，
∴△CNM∽△ACM，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{CM}{AM}$，
∵点N是线段OB中点，点B（6，0），
∴点N（3，0），
∴CN=$\sqrt{2}OC=3\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{3}^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{-1-m}$，
解得m=-6，
∴点M（-6，0），
∴直线CM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+3，直线BE的解析式为：y=-x+6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（2，4）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的中位线，掌握的作出辅助线是解题的关键．