Question

在△ABC中，∠ACB=90°，⊙O的圆心O在BC上，交BC于点C、E，且AB切⊙O于D，若OC：CB=1：3，AD=2，求BE．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：利用切线的性质推知OD⊥AB，则利用“两角法”易证△BDO∽△BCA，利用该相似三角形的对应边成比例来求相关线段的长度．

解答：解：如图，连接OD．
∵AB切⊙O于D，O是圆心，
∴OD⊥AB，
则∠ODB=90°，
又∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB=90°，AC=AD，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴

BD

BC

=

OB

AB

=

OD

AC

∵OC：CB=1：3，OC=OE=OD，
∴OC=OE=BE=OD，
则

BD

3BE

=

2BE

2+BD

=

BE

2

，
解得 BE=

2 3

3

．

点评：本题考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质．注意利用切线的性质推知AC=AD是通过比例式求得BE长度的关键．