Question

10．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．
（1）若∠BAC=90°，求AE的长；
（2）若DF=0.7，求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）连接CE，设AE=x，则BE=CE=x，利用勾股定理列出x的方程，求出x的值即可；
（2）设BD=y，则CD=y，用y表示出BF和CF，利用勾股定理列出y的方程，求出y的值，进而利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形．

解答 解：（1）连接CE，
设AE=x，
∵AB=4，
∴BE=4-x，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE=4-x，
∵∠BAC=90°，AC=3，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，即AE=$\frac{7}{8}$．

（2）证明：设BD=y，则CD=y，
∵DF=0.7，
∴BF=y+0.7，CF=y-0.7，
∵AF⊥BC，
∴AB²-BF²=AC²-CF²=AF²，
∴4²-（y+0.7）²=3²-（y-0.7）²，
∴y=2.5，
∴BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC为直角三角形．

点评 本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，此题难度不大．