Question

认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）（a+b）ⁿ展开式中共有多少项？
（1）请写出多项式（a+b）⁵的展开式？
（2）请根据上面的规律计算2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1⁵．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式，然后找规律，即可求得答案；
（2）通过观察可以看出（a+b）⁵的展开式为5次6项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1，5，10，10，5，1；
（3）根据题意得出原式=（2-1）⁵，进而得出答案．

解答：解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）¹的展开式是一次二项式，
当n=2时，多项式（a+b）²的展开式是二次三项式，
当n=3时，多项式（a+b）³的展开式是三次四项式，
当n=4时，多项式（a+b）⁴的展开式是四次五项式，
…
∴多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个n次n+1项式；
即（a+b）ⁿ展开式中共有n+1项；

（2）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

（3）由题意可得：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1⁵=（2-1）⁵=1．

点评：此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．