如图.已知抛物线与x轴交于A两点.与y轴交于点C(0.5)．(1)求该抛物线所对应的函数关系式,(2)D是笫一象限内抛物线上的一个动点.过点D作DF⊥x轴于点F.交直线BC于点E.连结BD.CD．设点D的横坐标为m.△BCD的面积为S．①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围,②当m为何值时.S有最大值.并求这个最大值,③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5），将点C（0，3）代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，结合点B、点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，再由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可得出结论；②由①的结论，利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形，从而得出结论；③结合图象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它们的面积比=DE：EF，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程，解方程即可得出m的值，将其代入到点D的坐标中即可得出结论．

解答（1）∵抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，5），
∴设y=a（x+1）（x-5），
∴5=a（0+1）（0-5），
解得a=-1，
∴抛物线的函数关系式为y=-（x+1）（x-5），
即y=-x²+4x+5；

（2）①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 5k+b=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5.\end{array}\right.$，
∴y=-x+5，
设D（m，-m²+4m+5），E（m，-m+5），
∴DE=-m²+4m+5+m-5=-m²+5m
∴s=$\frac{1}{2}×5$（-m²+5m）=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m （0＜m＜5）；

②s=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m=$-\frac{5}{2}{（{m-\frac{5}{2}}）^2}+\frac{125}{8}$，
∵$-\frac{5}{2}＜0$，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，S_最大值=$\frac{125}{8}$；

③∵△BDE和△BFE是等高的，
∴它们的面积比=DE：EF，
（ⅰ）当DE：EF=2：3时，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{2}{3}$，
解得：${m_1}=\frac{2}{3}，{m_2}=5$（舍），
此时，D（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）；

（ⅱ）当DE：EF=3：2时，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{3}{2}$，
解得：${m_1}=\frac{3}{2}，{m_2}=5$（舍），
此时，D（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．
综上所述，点D的坐标为（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）或（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．

点评本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及三角形的面积公式的综合应用，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；找出直线BC的函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．

试题分类