Question

11．△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D为AB的中点，点E在BC边上，且DE=$\sqrt{13}$，则tan∠AEC=$\frac{1}{3}$或1．

Answer 1

分析 由勾股定理逆定理知∠C=90°，作DF⊥BC可得DF∥AC，根据D为AB中点得DB=$\frac{1}{2}$AB=5，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4，继而可得DF=3，根据勾股定理可得EF=2，分点E在CF上和点E在BF上分别求得CE的长，最后由三角函数定义可得答案．

解答 解：∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠C=90°，
如图1，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DF∥AC，
∵D为AB中点，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=5，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DF=$\sqrt{D{B}^{2}-B{F}^{2}}$=3，

①当点E在CF上时，
∵DE=$\sqrt{13}$，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=2，
∴CE=CF-EF=2，
∴tan∠AEC=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
②如图2，当点E在BF上时，

CE=CF+EF=6，
∴tan∠AEC=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{6}{6}$=1，
综上，tan∠AEC=$\frac{1}{3}$或1，
故答案为：$\frac{1}{3}$或1．

点评 本题主要考查勾股定理及其逆定理和平行线等分线段定理、三角函数定义，根据DE的长知道存在两种情况是解题的关键．