Question

如图，正方形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，OA=3，点D是BC边的中点，连接OD，点E在OC上且CE：OE=2：1，过点E作EF∥OA交OD于点G，交AB于点F，连接DF，过点G作GH⊥DF，垂足为H，若BC边上有一点P与点H在同一反比例函数的图象上，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,角平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：过点G作GN⊥BC于点N，过点H作HQ⊥OA于点Q，交EF于点S，交OA于点Q，易证△OEG∽△OCD，根据相似三角形的性质可求出EG，从而求出GF，然后运用勾股定理求出DF，得到GF=DF，结合BC∥EF可证到∠CDG=∠FDG，根据角平分线的性质可得GH=GN，由此求出GH的长，然后在Rt△GHF中运用勾股定理求出HF，再运用面积法求出HS，进而求出GS、OQ、HQ，由此可得到点H的坐标，并求出经过点H的反比例函数的解析式，然后把点P的纵坐标代入反比例函数的解析式，求出点P的横坐标，就可解决问题．

解答：解：过点G作GN⊥BC于点N，过点H作HQ⊥OA于点Q，交EF于点S，交OA于点Q，如图．
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=BC=AB=OA=3．
∵点D是BC边的中点，
∴CD=BD=1.5．
∵EF∥OA，
∴△OEG∽△OCD，
∴

EG

CD

=

OE

OC

．
∵CE：OE=2：1，
∴

EG

CD

=

OE

OC

=

1

3

，
∴EG=

1

3

CD=0.5．
∵EF=OA=3，
∴GF=2.5．
在Rt△DBF中，
∵∠B=90°，DB=1.5，BF=CE=

2

3

OC=2，
∴DF=

DB2+BF2

=2.5，
∴FD=FG，
∴∠FDG=∠FGD．
∵BC∥EF，
∴∠CDG=∠FGD，
∴∠CDG=∠FDG．
∵GN⊥CD，GH⊥FD，
∴GH=GN．
∵GN=CE=2，
∴GH=2．
在Rt△GHF中，
HF=

GF2-GH2

=

2．52-22

=1.5．
∵S_△GHF=

1

2

GH•FH=

1

2

GF•HS，
∴HS=

GH•FH

GF

=

2×1.5

2.5

=1.2，
∴GS=

GH2-HS2

=

22-1．22

=1.6，
∴OQ=ES=EG+GS=0.5+1.6=2.1，
HQ=HS+SQ=HS+OE=1.2+1=2.2，
∴点H的坐标为（2.1，2.2）．
设经过点H的反比例函数的解析式为y=

k

x

，
则k=2.1×2.2=4.62．
∵点P在反比例函数y=

4.62

x

图象上，且y_P=3，
∴x_P=

4.62

3

=1.54，
∴点P的坐标为（1.54，3）．
故答案为：（1.54，3）．

点评：本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、用待定系数法求反比例函数的解析式等知识，利用角平分线的性质求出GH是解决本题的关键．