Question

10．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，△ACB的平分线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为$\frac{17}{2}$+$\frac{25π}{4}$．

Answer 1

分析 如图，连接BC、BD、AD、OD，作DN⊥BC于N，DM⊥CA于M，由S_{四边形ACBD}=$\frac{1}{2}$•AC•BC+$\frac{1}{2}$•AD•BD=$\frac{1}{2}$•AC•DM+$\frac{1}{2}$•BC•DN求出DM，再根据S_阴=S_△ACD+（S_扇形OAD-S_△AOD）即可解决问题．

解答 解：如图连接BC、BD、AD、OD，作DN⊥BC于N，DM⊥CA于M．
∵AB是直径，AC=6，AB=10，
∴∠ACB=90°，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA=∠DCB=45°，AD=DB，DM=DN，
∵∠ADB=90°，
∴AD²+DB²=AB²，
∴AD=DB=5$\sqrt{2}$，
∵S_{四边形ACBD}=$\frac{1}{2}$•AC•BC+$\frac{1}{2}$•AD•BD=$\frac{1}{2}$•AC•DM+$\frac{1}{2}$•BC•DN，
∴DM=DN=7，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DM=21，
∴S_阴=S_△ACD+（S_扇形OAD-S_△AOD）=21+$\frac{25π}{4}$-$\frac{25}{2}$=$\frac{17}{2}$+$\frac{25π}{4}$．
故答案为$\frac{17}{2}$+$\frac{25π}{4}$．

点评 本题考查扇形的面积公式、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形解决，学会利用角平分线添加辅助线，属于中考常考题型．