Question

20．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，过C点的直线为l，AD⊥l于D，又AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若AD=3，AB=4，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等边对等角得∠BAC=∠OCA，根据角平分线的定义得∠DAC=∠BAC，则OC∥AD，由AD⊥l，得∠ADC=90°，即可得出OC⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，易证△ADC∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即可得出AC，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD，再根据三角函数的定义即可得出tan∠DAC的值．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥L，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCO=180°-∠ADC=180°-90°=90°，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=ADC=90°，
又∵∠CAB=∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
又∵AD=3，AB=4，
∴AC²=AD•AB=3×4=12，
又∵AC＞0，
∴AC=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-9}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠DAC=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，是一道综合性的题目，与勾股定理、三角函数相结合，是中考的常见题型，难度适中．