Question

2．如图，正方形ABCD边长为6，点E、O、Q分别在边AB、AD、CD上，点K、G、N都在对角线AC上，当四边形EBMG和四边形OKNQ都为正方形时，KG的值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°，∠BEG=∠BMG=90°，BE=BM=EG=MG，推出△AEG与△CMG是等腰直角三角形，得到AE=EG=CM=GM，根据勾股定理得到AG=$\sqrt{2}$AE，CG=$\sqrt{2}$CM，得到AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，同理得到AK=KN=CN=$\frac{1}{3}$AC，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°，
∵四边形EBMG为正方形，
∴∠BEG=∠BMG=90°，BE=BM=EG=MG，
∴∠AEG=∠CMG=90°，
∴△AEG与△CMG是等腰直角三角形，
∴AE=EG=CM=GM，
∴AG=$\sqrt{2}$AE，CG=$\sqrt{2}$CM，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，
∵正方形ABCD边长为6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，
∴AG=CG=3$\sqrt{2}$，
同理△AKO与△CNQ是等腰直角三角形，
∴AK=KN=CN=$\frac{1}{3}$AC，
∴AK=2$\sqrt{2}$，
∴KG=AG-AK=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质定理是解题的关键．