Question

7．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF（即EF为AB的垂直平分线），把纸片展开，再将△BAM沿BM折叠，得到△BNM（即△BAM≌△BNM）．

（1）如图1，若点N刚好落在折痕EF上时，且过N作NG⊥BC，求证：NG=$\frac{1}{2}$BN；
（2）如图2，当点N刚好落在折痕EF上时，求∠NBC的度数；
（3）如图3，当M为射线AD上的一个动点时，已知AB=3，BC=5，若△BNC是直角三角形时，请求出AM的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD为矩形结合折叠的性质得到△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，从而得到四边形NGBE为矩形，利用矩形的性质证得NG=$\frac{1}{2}$BN；           
（2）连接AN，首先由折叠易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E为AB中点，从而证得△BAN为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠NBG=30°即可；
（3）根据四边形ABCD为矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分当∠NBC=90°、当∠BNC=90°  N在矩形ABCD内部、当∠BNC=90°  N在矩形ABCD外部时三种情况利用勾股定理求得结论即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵NG⊥BC，
∴∠NGB=90°，
由折叠易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E为AB中点，
∴∠FEB=90°，AB=BN，
∴四边形NGBE为矩形，
∴BE=NG，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BN，
∴NG=$\frac{1}{2}$BN；           
（2）连接AN，
∵由折叠易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E为AB中点，
∴AB=BN，NA=BN，
∴△BAN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBG=30°；

（3）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠MNB=90°，
①当∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合题意，舍去，
②当∠BNC=90°，N在矩形ABCD内部，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB=BN=3     BC=5∠BNC=90°
∴NC=4
设AM=MN=x
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中CD²+MD²=MC²，
3²+（5-x）²=（4+x）²，
解得x=1；
③当∠BNC=90°   N在矩形ABCD外部时，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
设AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中 CD²+MD²=MC²
3²+（y-5）²=（y-4）²，
解得x=9，
综上所述：当AM=1或9时△NBC是直角三角形．

点评 本题考查了四边形的综合知识，解答过程中应用了全等三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，特别是在解答第三问时应用到了分类讨论的数学思想，难度较大，是一道好题．