Question

已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，－2）．

（1）b＝，点B的坐标为（        ，        ）    ；（均用含a的代数式表示）

（2）若a＜2，试证明二次函数图像的顶点一定在第三象限；

（3）若a＝1，点P是抛物线在x轴下方的一个动点（不与C重合），连结PB，PC，设所得△PBC的面积为S，试求S的取值范围．

Answer 1

（1）2－a，（－，0）；…………3分

（2）∵二次函数图象过（1，0）点，且与y轴的交点坐标是（0，－2），

∴可求得：c＝－2, b＝2－a，

∴y＝ax²＋（2－a）x﹣2，…………4分

∴可求得图象顶点坐标为（，）……5分

∵0＜a＜2，∴2a＞0，4a＞0，2－a＞0，＞0  ……6分

∴＜0，＜0．

∴该二次函数图像的顶点一定在第三象限．…………7分

（3）当a＝1时，y＝x²＋x－2，此时点B的坐标为（－2，0）．…………8分

当0＜x＜1时，0＜S＜S_△ABC

∵S_△ABC＝×AB×OC＝×3×2＝3，∴此时，0＜S＜3．……… 9分

当－2＜x＜0时，可设点P的坐标为

连结PO，则S＝S_△POB＋ S_△POC－S_△BOC

∴S＝

…………10分

∵当x＝－1时，S取最大值1，且满足－2＜－1＜0

∴此时，0＜S≤1．…………11分

综上所述，0＜S＜3．…………12分