Question

已知一组数据x₁，x₂，x₃，…，x_n的平均数是

.

x

，方差是S²，设另一组数据x′₁=ax₁+b，x′₂=ax₂+b，x′₃=ax₃+b，…，x′_n=ax_n+b的平均数是

.

x

′，方差是S′²．请说明以下等式成立的理由：
（1）

.

x

′=a

.

x

+b；（2）S′²=a²S²．

Answer 1

考点：方差,算术平均数

专题：证明题

分析：（1）根据平均数的计算公式，进行推导即可；
（2）根据方差公式S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]推到即可．

解答：解：（1）

.

x

′=

1

n

（x′₁+x′₂+…+x′_n），
=

1

n

[（ax₁+b）+（ax₂+b）+…+（ax_n+b）]，
=

1

n

[a（x₁+x₂+…+x_n）+nb]，
=a

.

x

+b．
（2）S′2=

1

n

[（x′₁-

.

x′

）²+（x′₂-

.

x′

）²+…+（x′_n-

.

x′

）²]，
=

1

n

[（ax₁+b-a

.

x

-b）²+（ax₂+b-a

.

x

-b）²+…+（ax_n+b-a

.

x

-b）²]，
=

1

n

[a²（x₁-

.

x

）²+a²（x₂-

.

x

）²+…+a²（x_n-

.

x

）²]，
=a²S²．

点评：本题考查了平均数和方差．平均数的定义：

.

x

=

1

n

(x1+x2+…+xn)，
方差的定义：S2=

1

n

(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2．