Question

16．在△ABC中，AB，BC，AC三边长分别为$\sqrt{5}，\sqrt{10}，\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．小华同学在解答这题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

（1）若△DEF三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{17}$，请在正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为3（直接写结果）；
（2）如图3，一个六边形的花坛被分成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25cm²，13cm²，36cm²，利用备用图进行构围，计算求出六边形花坛ABCDEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
（2）由构图求出△APF、△DEQ、△PQR、△BCR的面积，总面积等于7个部分的面积之和列式计算即可得解．

解答 解：（1）△DEF如图1所示；
面积=2×4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×1×4，
=8-1-2-2，
=8-5，
=3；
（2）构图如图2所示：
∵正方形PRBA、正方形QPFE的面积分别为25cm²，36cm²，
∴正方形PRBA、正方形QPFE的边长分别为5cm、6cm，
则△APF的面积=$\frac{1}{2}$×6×3=9（cm²），
△DEQ的面积=$\frac{1}{2}$×6×3=9（cm²），
△PQR的面积=$\frac{1}{2}$×6×3=9（cm²），
△BCR的面积=6×4-$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×6×2=9（cm²），
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110（cm²）．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、构图法求三角形的面积；读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解决问题的关键．