如图.矩形AOCB在直角坐标系中.O为原点.C在x轴上.A在y轴上.直线AC的关系式为y=$\frac{3}{4}$x+9.D是OA上的一点.若将矩形AOCB沿CD折叠.点A恰好落在x轴上的A′处．(1)求AC的长,(2)求直线A′D的关系式,(3)设一动点P从点C出发.以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动.运动时间为t s．①当t为何值时.BC=BP?②在运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，矩形AOCB在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，A在y轴上，直线AC的关系式为y=$\frac{3}{4}$x+9，D是OA上的一点，若将矩形AOCB沿CD折叠，点A恰好落在x轴上的A′处．
（1）求AC的长；
（2）求直线A′D的关系式；
（3）设一动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动，运动时间为t s．
①当t为何值时，BC=BP？
②在运动过程中，存在以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，请求出t的取值范围．

分析（1）首先求得A和C的坐标，然后利用勾股定理即可求解；
（2）根据对称的性质可得CA'=CA，即可求得A'的坐标，设D（O，n），在RT△A′OD中，利用勾股定理即可列方程求得n的值，然后利用待定系数法即可求解；
（3）①作BE⊥AC于点E，当BC=BP时，t=2CE，根据三角形的面积公式即可求得CE的长，从而求解；
②CD是∠ACA'的角平分线，则P到AC的距离等于到x轴的距离，以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，则P的纵坐标的绝对值大于横坐标的绝对值，据此即可列不等式求解．

解答解：（1）由直线AC可知：A（0，9），C（-12，0），
∴AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15；
（2）∵A′是A点关于直线CD的对称点，
∴AC=A′C，
∴A′C=15，
∴OA′=15-12=3，
设D（O，n），
∴OD=n，A′D=AD=9-n，
在RT△A′OD中，A′D²=OA′²+OD²，
即（9-n）²=4²+n²，解得n=$\frac{65}{18}$，
∴D（0，$\frac{65}{18}$）
∵A′（4，0），
设直线A'D的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{65}{18}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{65}{72}}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
∴直线A′D的关系式是y=-$\frac{65}{72}$x+$\frac{65}{18}$；
（3）①作BE⊥AC于点E．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{9×12}{15}$=$\frac{36}{5}$，
则t=2×$\frac{36}{5}$=$\frac{72}{5}$；
②设CD的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-12k+b=0}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{65}{216}}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
则直线CD的解析式是y=$\frac{65}{216}$x+$\frac{65}{18}$．
当-12≤x＜0时，当以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交时，y＞-x，即$\frac{65}{216}x+\frac{65}{18}$＞-x，
解得：x＞-$\frac{780}{281}$．
则次时x的范围是：-$\frac{780}{281}$＜x＜0；
当x≥0时，当以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交时，y＞x，则$\frac{65}{216}x+\frac{65}{18}$＞x，
解得：x＜$\frac{780}{151}$．
则0≤x＜$\frac{780}{151}$．
总之，x的范围是：-$\frac{780}{281}$＜x＜$\frac{780}{151}$．