题目内容
18．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=$\sqrt{3}$x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
分析 （1）因为x是整数，x≠0时，$\sqrt{3}$x是一个无理数，所以x≠0时，$\sqrt{3}$x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=$\sqrt{3}$x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．
（2）首先判断出当k=1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（-1、-1）；然后判断出当k≠1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0，则[（k-1）x+k][（k-2）x+（k-1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
解答 解：（1）∵x是整数，x≠0时，$\sqrt{3}$x是一个无理数，
∴x≠0时，$\sqrt{3}$x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数y=$\sqrt{3}$x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，1）、（-1、-1）；
②当k=-1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，-1）、（-1，1）．
③当k≠±1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：
（1，k）、（-1，-k）、（k，1）、（-k，-1），这与函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（-1、-1）；
k=-1时，函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，-1）、（-1、1）．
（3）令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0，
则[（k-1）x+k][（k-2）x+（k-1）]=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{k}{1-k}}\\{{x}_{2}=\frac{k-1}{2-k}}\end{array}\right.$
∴k=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}=\frac{{2x}_{2}+1}{{x}_{2}+1}$，
整理，可得
x1x2+2x2+1=0，
∴x2（x1+2）=-1，
∵x1、x2都是整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}+2=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}+2=1}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$
①当$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$时，
∵$\frac{k-1}{2-k}=1$，
∴k=$\frac{3}{2}$；
②当$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$时，
∵$\frac{k}{1-k}=-1$，
∴k=k-1，无解；
综上，可得
k=$\frac{3}{2}$，x1=-3，x2=1，
y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k
=[${（\frac{3}{2}）}^{\;}$2-3×$\frac{3}{2}$+2]x2+[2×（$\frac{3}{2}$）2-4×$\frac{3}{2}$+1]x+（$\frac{3}{2}$）2-$\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
①当x=-2时，
y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
=$-\frac{1}{4}$×（-2）2$-\frac{1}{2}$×（-2）+$\frac{3}{4}$
=$\frac{3}{4}$
②当x=-1时，
y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{1}{2}$x$+\frac{3}{4}$
=$-\frac{1}{4}$×（-1）2$-\frac{1}{2}$×（-1）+$\frac{3}{4}$
=1
③当x=0时，y=$\frac{3}{4}$，
另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：
（-2，0）、（-1、0）、（0，0）．
综上，可得
若二次函数y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，
该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（-3，0）、（-2，0）、（-1，0）（-1，1）、（0，0）、（1，0）．
点评 （1）此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质．
（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
快乐小博士巩固与提高系列答案
如图，抛物线y=ax2+4与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=4．
设函数y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常数）．
已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（ ）
