Question

17．如图，AB是⊙O的直径，D是$\widehat{AC}$上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长交AB的延长线于点F．
（1）当∠A=16°，求∠F的大小；
（2）当⊙O的半径为6，DE=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由垂径定理得出OD⊥AC，$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，得出∠AOE=∠COE，求出∠AOE=∠COE=74°，由圆周角定理得出∠DCE=$\frac{1}{2}$∠AOE=37°，再由三角形的外角性质即可得出结果；
（2）求出OE=OD-DE=2，在Rt△OCE中，由勾股定理求出CE=4$\sqrt{2}$，在Rt△DCE中，由勾股定理求出CD即可．

解答 解：（1）如图，连接OC，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴OD⊥AC，$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠BAC=16°，
∴∠AOE=∠COE=74°，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠AOE=37°，
∴∠F=∠DCE-∠BAC=37°-16°=21°；
（2）∵OC=OD=6，DE=4，
∴OE=OD-DE=2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解决问题的关键．