Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=EG=GB，DF=FH=HC．
（1）如果EF=8，BC=12，求AD和GH的长；
（2）如果AD=4，BC=10，求EF和GH的长．

Answer 1

考点：梯形中位线定理,平行线分线段成比例

专题：

分析：（1）延长BA、CD，交于点P，根据平行线分线段成比例得出AD∥EF∥GH∥BC，于是四边形BCFE、ADHG都是梯形．由GH是梯形BCFE的中位线，根据梯形中位线定理可得GH=

1

2

（EF+BC）=10；又EF是梯形ADHG的中位线，根据梯形中位线定理可求出AD的长；
（2）过点A作AS∥CD分别交EF、GH、BC于点P、Q、S，就看得出四边形ADCS，ADFP，PFQH，QHCS是平行四边形，就有AD=PF=QH=CS=4，得出BS=6，再由△AE∽△ABS和△AGQ∽△ABS，由相似三角形的性质就可以求出EP，GQ的值，从而EF和GH的长．

解答：解：（1）如图，延长BA、CD，交于点P．
∵AD∥BC，
∴

PA

AB

=

PD

DC

，
∵AE=EG=GB，DF=FH=HC，
∴

PA

3AE

=

PD

3DF

，
∴

PA

AE

=

PD

DF

，
∴EF∥AD，
同理GH∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥GH∥BC，
∴四边形BCFE、ADHG都是梯形．
在梯形BCFE中，∵EG=GB，FH=HC，
∴GH是梯形BCFE的中位线，
∴GH=

1

2

（EF+BC）=

1

2

（8+12）=10；
在梯形ADHG中，∵AE=EG，DF=FH，
∴EF是梯形ADHG的中位线，
∴EF=

1

2

（AD+GH），
∴AD=2EF-GH=2×8-10=6；

（2）过点A作AS∥CD分别交EF、GH、BC于点P、Q、S，
∵AD∥EF∥GH∥BC，
∴四边形ADCS，ADFP，PFQH，QHCS是平行四边形，
∴AD=PF=QH=CS=4，
∴BS=6．
∵EF∥BC，
∴△AEP∽△ABS，
∴

AE

AB

=

EP

BS

，
∵AE=EG=BG，设AE=EG=BG=a，
∴AE=a，AG=2a，AB=3a．
∴

AE

AB

=

1

3

，
∴

1

3

=

EP

6

，
∴EP=2，
∴EF=6．
∵GH∥BC，
∴△AGQ∽△ABS，
∴

AG

AB

=

GQ

BS

，
∴

2a

3a

=

GQ

6

，
∴GQ=4，
∴GH=8．

点评：本题考查了梯形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形、相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解题的关键．