Question

7．若x+y=2，x²+y²=3，则x⁵+y⁵的值是14.5．

Answer 1

分析 根据完全平方公式的变形得到xy=$\frac{1}{2}$，则x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=$\frac{17}{2}$，所以x⁵+y⁵=（x+y）[（x⁴+y⁴）-xy（x²+y²-xy）]，将相关数据代入求值即可．

解答 解：∵2xy=（x+y）²-（x²+y²）=4-3=1，
∴xy=$\frac{1}{2}$，
∴x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=3²-2×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{17}{2}$，
∴x⁵+y⁵
=（x+y）（x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴）
=（x+y）（x⁴+y⁴-x³y+x²y²-xy³）
=（x+y）[（x⁴+y⁴）-xy（x²+y²-xy）]
=2×[$\frac{17}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）]
=14.5．
故答案是：14.5．

点评 本题考查了完全平方公式．熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²的变形公式有：a²+b²=（a+b）²-2ab，2ab=（a+b）²-a²+b²．