Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）作CG⊥BF于点G，利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．

解答 解：
（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵AB=AC，
∴∠EAB=∠EAC，
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CBF=∠EAB，
∴∠CBF+∠EBA=90°，
 即∠ABF=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）作CG⊥BF于点G，
在Rt△ABE中，sin∠EAB=sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=5，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BCG中sin∠CBF=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵BC=2$\sqrt{5}$，
∴CG=2，
∵CG∥AB，
∴$\frac{GF}{BF}$=$\frac{CG}{AB}$，
∵BG=$\sqrt{B{C^2}-C{G^2}}$=$\sqrt{{{（2\sqrt{5}）}^2}-{2^2}}$=4，
∴GF=BF-BG=BF-4，
∵CG=2，AB=5，
∴$\frac{BF-4}{BF}$=$\frac{2}{5}$，
解得  BF=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、直径所对的圆周角、等腰三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理，有一定的综合性，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．