Question

16．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）在三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=C，则∠A的取值范围为60°＜∠BAD＜120°．
（2）如图①，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．
求证：四边形ABCD为三等角四边形；
（3）如图②，三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若AB=5，AD=$\sqrt{26}$，DC=7，则BC的长度为$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠BAD的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；
（3）延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，由SAS证明△DEG≌△DAG，得出AD=DE=$\sqrt{26}$，∠DAG=∠DEA，由SAS证明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，证出DE∥BF，BE∥DF，得出四边形DEBF是平行四边形，得出DF=BE=7，DE=BF=$\sqrt{26}$，由等腰三角形的性质得出EG=AG=$\frac{1}{2}$（BE-AB）=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=5，由平行四边形DEBF的面积求出DH=$\frac{35}{26}$$\sqrt{26}$，在Rt△DCH中，由勾股定理求出CH=$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$，即可得出BC的长度．

解答 （1）解：∵∠BAD=∠B=∠BCD，
∴3∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°-3∠BAD．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°-3∠BAD＜180°，
∴60°＜∠BAD＜120°；
故答案为：60°＜∠BAD＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，DE∥BF，
∴∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形；
（3）解：延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，如图所示：
在△DEG和△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=EG}\\{∠AGD=∠EGD=90°}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DAG（SAS），
∴AD=DE=$\sqrt{26}$，∠DAG=∠DEA，
在△DFH和△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=HF}\\{∠DHC=∠DHF=90°}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△DFH≌△DCH（SAS），
∴CD=DF=7，∠DCH=∠DFH，
∵∠BAD=∠B=∠BCD，
∴∠DEB+∠B=180°，∠DFB+∠B=180°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE=7，DE=BF=$\sqrt{26}$，
∴EG=AG=$\frac{1}{2}$（BE-AB）=$\frac{1}{2}$×（7-5）=1，
在Rt△DGA中，DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{26}）^{2}-{1}^{2}}$=5，
∵平行四边形DEBF的面积=BE•DG=DH•BF，
即：7×5=DH×$\sqrt{26}$，
∴DH=$\frac{35}{26}$$\sqrt{26}$，
在Rt△DCH中，CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{（7）^{2}-（{\frac{35}{26}\sqrt{26}）}^{2}}$=$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$，
∴BC=BF-2CH=$\sqrt{26}$-2×$\frac{7}{26}$$\sqrt{26}$=$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$；
故答案为：$\frac{6}{13}$$\sqrt{26}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．