Question

14．在矩形ABCD中，P在边BC上，联结AP，DP，将△ABP，△DCP分别沿直线AP，DP翻折，得到△AB₁P，△DC₁P，且点B₁，C₁，P在同一直线上，线段C₁P交边AD于点M，联结AC₁，若∠AC₁D=135°，则$\frac{PC}{DM}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先设BP=B₁P=1，CP=C₁P=x，则B₁C₁=x-1，AD=BC=1+x，根据题意得到Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=（x-1）²+1²，Rt△DCP中，DP²=PC²+CD²=x²+（x-1）²，
Rt△ADP中，AD²=AP²+DP²，进而得出AD²=AB²+BP²+PC²+CD²，据此可得方程（1+x）²=（x-1）²+1²+x²+（x-1）²，求得PC=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，BC=AD=1+$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，再根据△DC₁M≌△AB₁M（AAS），可得DM=AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$，最后计算$\frac{PC}{DM}$的值即可．

解答 解：如图，设BP=B₁P=1，CP=C₁P=x，则B₁C₁=x-1，AD=BC=1+x，
由折叠可得，∠PC₁D=∠C=90°，而∠AC₁D=135°，
∴∠AC₁P=135°-90°=45°，
当点B₁，C₁，P在同一直线上时，由∠B=∠AB₁P=90°，可得∠AB₁C₁=90°，
∴△AB₁C₁是等腰直角三角形，即AB₁=B₁C₁=x-1，
∴AB=AB₁=x-1=CD，
由折叠可得，∠APD=∠APM+∠DPM=$\frac{1}{2}$∠BPM+$\frac{1}{2}$∠CPM=$\frac{1}{2}$∠BPC=90°，
∵Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=（x-1）²+1²，
Rt△DCP中，DP²=PC²+CD²=x²+（x-1）²，
Rt△ADP中，AD²=AP²+DP²，
∴AD²=AB²+BP²+PC²+CD²，
即（1+x）²=（x-1）²+1²+x²+（x-1）²，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴PC=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，BC=AD=1+$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，
由折叠可得，AB=AB₁=CD=CD₁，∠DC₁M=90°=∠AB₁M，
在△DC₁M和△AB₁M中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DM{C}_{1}=∠AM{B}_{1}}\\{∠D{C}_{1}M=∠A{B}_{1}M}\\{D{C}_{1}=A{B}_{1}}\end{array}\right.$
∴△DC₁M≌△AB₁M（AAS），
∴DM=AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$，
∴$\frac{PC}{DM}$=$\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用以及等腰直角三角形的判定的综合应用，解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．