Question

4．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是0＜x≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是$\sqrt{2}$，所以x的取值范围是0≤x≤$\sqrt{2}$．

解答 解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=$\sqrt{2}$，
同理，原点左侧的距离也是$\sqrt{2}$，且线段是正数，
∴x的取值范围是0＜x≤$\sqrt{2}$．
故答案为：0＜x≤$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．