Question

6．如图，直线y=-2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P₁，P₂，P₃，…，P_n-1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，用S₁，S₂，S₃，…，S_n-1分别表示Rt△T₁OP₁，Rt△T₂P₁P₂，…，Rt△T_n-1P_n-2P_n-1的面积，则当n=2015时，S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1007}{2015}$．

Answer 1

分析 根据图象上点的坐标性质得出点T₁，T₂，T₃，…，T_n-1各点纵坐标，进而利用三角形的面积得出S₁、S₂、S₃、…、S_n-1，进而得出答案．

解答 解：∵P₁，P₂，P₃，…，P_n-1是x轴上的点，且OP₁=P_1P2=P_2P3=…=P_n-2P_n-1=$\frac{1}{n}$，
分别过点p₁、p₂、p₃、…、p_n-2、p_n-1作x轴的垂线交直线y=-2x+2于点T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，
∴T₁的横坐标为：$\frac{1}{n}$，纵坐标为：2-$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n}$（2-$\frac{2}{n}$）=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{1}{n}$）
同理可得：T₂的横坐标为：$\frac{2}{n}$，纵坐标为：2-$\frac{4}{n}$，
∴S₂=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{2}{n}$），
T₃的横坐标为：$\frac{3}{n}$，纵坐标为：2-$\frac{6}{n}$，
S₃=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{3}{n}$）
…
S_n-1=$\frac{1}{n}$（1-$\frac{n-1}{n}$）
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1}{n}$[n-1-$\frac{1}{2}$（n-1）]=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n}$（n-1）=$\frac{n-1}{2n}$，
∵n=2015，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2015}$×2014=$\frac{1007}{2015}$．
故答案为：$\frac{1007}{2015}$．

点评 此题考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出T点纵坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．