Question

8．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点B，有以下结论：
①∠ACP=15°；
②△APE是等腰三角形；
③AE²=PE•AB；
④△APC的面积为S₁，正方形ABCD的面积为S₂，则S₁：S₂=1：4．
其中正确的个数为 （　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，根据正方形性质和等腰三角形性质求出∠DBC=45°，即可判断①；
根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠DPC=∠PDC=75°，即可判断②；
根据三角形相似的判定即可判断③；
根据三角形的面积求出△PBC，△DPC，△DBC的面积，即可判断④．

解答 解：∵△BCP是等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=60°-45°=15°，∴①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠BAC=45°，BP=BC，∠PBC=60°，
∴AB=BP，
∴∠BAP=∠BPA=$\frac{1}{2}×$（180°-∠ABP）=$\frac{1}{2}$[180°-（90°-60°）]=75°，
∴∠PAE=∠BAP-∠BAC=75°-45°=30°，
∴∠AEP=180°-∠APB-∠PAE=180°-75°-30°=75°，
∴∠APE=∠AEP，
∴△APE是等腰三角形，∴②正确；
∵∠PAE=∠ABP=30°，∠APB=∠APE，
∴△APE∽△BPA，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{BP}{AP}$，
∵AP=AE，AB=BP，
∴AE²=PE•AB，∴③正确；
连接PD，过D作DG⊥PC于G，过P作PF⊥AD于F，

设正方形的边长为2a，则S₂=4a²，等边三角形PBC的边长为2a，高为$\sqrt{3}$a，
∴PF=2a-$\sqrt{3}$a=（2-$\sqrt{3}$）a，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•PF=（2-$\sqrt{3}$）a²，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴GD=$\frac{1}{2}$CD=a，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•DG=a²，S_△ACD=2a²，
∴S₁=S_△ACD-S_△ADP-S_△PCD=2a²-a²-（2-$\sqrt{3}$）a²=（$\sqrt{3}$-1）a²＜a²，
∴S₁：S₂≠1：4．
∴④错误；
故选C．

点评 本题考查了正方形性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形面积，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道中等题．