Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y=x²+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB=4．
（1）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线C₁平移，得到的新抛物线C₂的顶点为（0，-1），抛物线C₁的对称轴与两条抛物线C₁，C₂围成的封闭图形为M．直线l：y=kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB=4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y=x²+bx+c可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标； 
（2）利用平移后的C₂的顶点为（0，-1），可得抛物线C₂的解析式，易得抛物线C₁的对称轴x=3与抛物线C₂的交点E，当直线l过点B（5，0）和点D（3，-4）时，代入y=kx+m（k≠0）可得k_BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y=kx+m（k≠0）可得k_BE，易得k的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线C₁的对称轴与x轴交于点（3，0），
∴抛物线C₁的对称轴为直线x=3．
又∵AB=4，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}1+b+c=0\\ 25+5b+c=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ c=5\end{array}\right.$
∴抛物线C₁的表达式为y=x²-6x+5．
即y=（x-3）²-4．
∴抛物线C₁的顶点为D（3，-4）．

（2）∵平移后得到的新抛物线C₂的顶点为（0，-1），
∴抛物线C₂的表达式为y=x²-1．
∴抛物线C₁的对称轴x=3与抛物线C₂的交点为E（3，8）
①当直线l过点B（5，0）和点D（3，-4）时，
得$\left\{\begin{array}{l}5k+m=0\\ 3k+m=-4\end{array}\right.$
解得k_BD=2．
②当直线l过点B（5，0）和点E（3，8）时，
得$\left\{\begin{array}{l}5k+m=0\\ 3k+m=8\end{array}\right.$
解得k_BE=-4，
∴结合函数图象可知，k的取值范围是-4≤k≤2且k≠0．

点评 本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．