题目内容
10．如图，平面直角坐标系中有一四边形ABCD，直线m是四边形ABCD的对称轴，它与x轴相交于点E（1，0），顶点A（-1，0）的对称点为点B，顶点D（0，3）的对称点为点C．（1）点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（2，3）；
（2）在直线m上是否存在一点M，使得△MBC的周长最短？若存在，求出点M的坐标及△MBC的最短周长；若不存在，请说明理由．
（3）若直线m绕点E旋转360°，旋转过程中m将四边形ABCD分成面积为1：5的两部分，求此时直线m的函数表达式．
分析 （1）根据对称性写出B、C两点的坐标；
（2）因为C与D是对称点，所以连接BD与直线m的交点就是所求的点M，此时△MBC的周长最短，分别利用勾股定理求出BD和BC的长，相加即可；
（3）先求四边形ABCD的面积为9，因为直线m绕点E旋转360°，则某一三角形的一边为AE或BE，且AE=BE=2，因为分成面积为1：5的两部分，而S△ADE和S△BCE为3，所以该直线在直线DE或直线CE的下方，根据面积可分别求出对应的高FG=$\frac{3}{2}$，要两种情况分别求出直线m的解析式．
解答 
解：（1）∵四边形ABCD的对称轴是：直线m=1，
由对称得：B（3，0），C（2，3），
故答案为：（3，0）；（2，3）；
（2）连接BD交直线m于M，连接CM，此时△MBC的周长最短，
∵m是对称轴，
∴m是线段CD的中垂线，
∴DM=CM，
∴CM+BM=DM+BM，
在Rt△DOB中，∵OD=3，OB=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CM+BM=BD=3$\sqrt{2}$，
过C作CF⊥x轴于F，
∵C（2，3），B（3，0），
∴BF=3-2=1，CF=3，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴△BMC的周长=CM+BM+BC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
（3）由题意得：四边形ABCD为梯形
∴S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$（DC+AB）×OD=$\frac{1}{2}$×（2+4）×3=9
∵旋转过程中m将四边形ABCD分成面积为1：5的两部分，
分两种情况：
①如图2，S△AFE：S五边形EFDCB=1：5，
过F作FG⊥AB于G，
∴S△AFE=$\frac{1}{2}$×2×FG=9×$\frac{1}{6}$，
∴FG=$\frac{3}{2}$，
∵FG∥OD，
∴△AFG∽△ADO，
∴$\frac{FG}{OD}=\frac{AG}{AO}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{AG}{1}$，
∴AG=$\frac{1}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$，
∴F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线m的解析式为：y=kx+b，
把F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线m的解析式为：y=-x+1；
②如图3，S五边形AEFCD：S△BEF=5：1，
过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则FG∥CH，
同理可求得：FG=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$，
∴OG=OB-BG=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线m的解析式为：y=kx+b，
把F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）、E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线m的解析式为：y=x-1，
综上所述，此时直线m的函数表达式为y=-x+1或y=x-1．
点评 本题是四边形的综合题，考查了梯形、轴对称、相似三角形的性质和判定、以及最短路径问题，明确对称轴是对称点连线的中垂线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，与函数相结合，利用待定系数法求一次函数的解析式，第3问难度较大，运用了分类讨论的思想，注意分成面积为1：5的两部分，利用数形结合的思想解决此问题．
| A． | -8 | B． | 8 | C． | $\frac{1}{8}$ | D． | -$\frac{1}{8}$ |
如图，在射线BA、BC、AD、CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6$\sqrt{3}$，O是射线BD上一点，⊙O与BA、BC都相切、与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或线段AD）于点E、交线段BC（或线段CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G、H分别在围成菱形的另外两条线段上．
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上一点．