Question

15．如图，E是矩形ABCD边AD上的一点，且BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD与G，请你猜想PF、PG、AB它们之间有什么关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 连接PE，把△BED分成△BEP和△DEP两个三角形，然后利用三角形的面积列式进行计算即可得证．

解答 答：PF+PG=AB，
证明：连接PE，

∵BE=ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S_△BDE=S_△BEP+S_△DEP
=$\frac{1}{2}$BE•PF+$\frac{1}{2}$ED•PG
=$\frac{1}{2}$ED•（PF+PG），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，
∴S_△BED=$\frac{1}{2}$ED•AB，
∴$\frac{1}{2}$ED•（PF+PG）=$\frac{1}{2}$ED•AB，
∴PF+PG=AB．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积，作辅助线，利用三角形的面积的两种表示方法证明更简单．