Question

14．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-（4a+1）x+4（a＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=$\frac{1}{3}$x+b经过点A，交y轴于点C．
（1）求b的值；
（2）如图2，若点D为抛物线与x轴的另一个交点，T为抛物线的顶点，连接CD、DT，CD⊥DT，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为第一象限抛物线上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交抛物线对称轴于点M，点M为EF的中点；点P是第四象限抛物线上的点，点Q在直线AC上，MP⊥MQ，连接QF，AP，若直线QF垂直于线段AP，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线y=ax²-（4a+1）x+4，令y=0，则ax（x-4）-（x-4）=0，可得点A坐标，再利用待定系数法求出b即可．
（2）如图1中，作TF⊥AD于F．由△TFD∽△DOC，得到$\frac{TF}{OD}$=$\frac{DF}{OC}$，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，抛物线对称轴交x轴于G，作EH⊥GM于H，设M（1，m），Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$）．由△EHM≌△GMA，得MG=HE=m，HM=AG=3，得E（1+m，3+m），把E（1+m，3+m）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，求出m，再由∠QMF≌△PMA，推出QM=PM，QF=PA，由Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$），可知P（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n，n），代入抛物线的解析式求出n即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²-（4a+1）x+4，令y=0，则ax（x-4）-（x-4）=0，
∴（ax-1）（x-4）=0，
∴x=$\frac{1}{a}$或4，
∴A（4，0），把A（4，0）代入y=$\frac{1}{3}$x+b，
得0=$\frac{4}{3}$+b，
∴b=-$\frac{4}{3}$．

（2）如图1中，作TF⊥AD于F．

由题意T（$\frac{4a+1}{2a}$，$\frac{（4a-1）^{2}}{4a}$），D（$\frac{1}{a}$，0），C（0，-$\frac{4}{3}$），
∵DT⊥CD，
∴∠TDC=90°，
∴∠TDF+∠ODC=90°，
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠TDF=∠OCD，∵∠TFD=∠DOC=90°，
∴△TFD∽△DOC，
∴$\frac{TF}{OD}$=$\frac{DF}{OC}$，
∴$\frac{\frac{（4a-1）^{2}}{4a}}{\frac{1}{a}}$=$\frac{\frac{4a+1}{2a}-\frac{1}{a}}{\frac{4}{3}}$，
整理得8a²-2a-3=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（3）如图2中，抛物线对称轴交x轴于G，作EH⊥GM于H，设M（1，m），Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$）．

∵△AEF是等腰直角三角形，EM=MF，
∴ME=MF=MA，AM⊥EF，
由△EHM≌△GMA，得MG=HE=m，HM=AG=3，
∴E（1+m，3+m），把E（1+m，3+m）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
3+m=-$\frac{1}{2}$（1+m）²+1+m+4，
解得m=1或-3（舍弃），
∴M（1，1），
∵QM⊥PM，QF⊥PA，
∴∠QMP=∠QKP=90°，
∴∠MQF=∠MPA，
∵∠QMP=∠FMA=90°，
∴∠QMF≌△PMA，
∴QM=PM，QF=PA，
∵Q（n，$\frac{1}{3}$n-$\frac{4}{3}$），可知P（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n，n），
把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，得到n=-$\frac{1}{2}$（$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n）²+$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$n+4，整理得n²+4n-32=0，
解得n=-8或4（舍弃），
∴点Q坐标（4，-4）．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．