Question

2．如图四边形ABCD，∠B=∠C=90°，AB=BC=4，△AED为等边三角形，M为AB中点，E为BC上一点，动点P，Q同时从A出发向点E运动，P的速度为1单位/秒，Q的速度为2单位/秒，当Q到达E时，两点同时停止运动，设t秒后，PQ+QM的值最小，求此最小值和t．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥CD于K，连接AC，作QG⊥AC于G，作MN⊥AC于N交AE于Q′，首先证明Rt△ADK≌Rt△AEB，推出∠DAK=∠BAE，推出∠DAK=∠BAE=15°，由∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，推出GQ=$\frac{1}{2}$AQ，由PQ=2t-t=t=$\frac{1}{2}$AQ，推出PQ=GQ，所以MQ+PQ=MQ+GQ，所以当G、Q、M共线时，MQ+QP的值最小，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作AM⊥CD于K，连接AC，作QG⊥AC于G，作MN⊥AC于N交AE于Q′．

∵∠K=∠KCB=∠B=90°，
∴四边形ABCK是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCK是正方形，
∴AB=AK，∵AD=AE，
∴Rt△ADK≌Rt△AEB，
∴∠DAK=∠BAE，
∵∠DAE=60°，∠KAB=90°，
∴∠DAK=∠BAE=15°，
∴∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，
∴GQ=$\frac{1}{2}$AQ，
∵PQ=2t-t=t=$\frac{1}{2}$AQ，
∴PQ=GQ，
∴MQ+PQ=MQ+GQ，
∴当G、Q、M共线时，MQ+QP的值最小，
此时MQ+QG的最小值=MQ′+Q′N=MN，
在Rt△AMN中，∵∠NAM=∠NMA=45°，AM=2，
∴MN=$\sqrt{2}$，
∴PQ+QM的最小值为$\sqrt{2}$．此时AQ′=2NQ′=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴2t=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴此时t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$s．

点评 本题考查正方形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化是思想思考问题，把问题转化为垂线段最短问题，题目比较难，所以中考压轴题．