Question

6．如图①，已知∠1=∠2，∠3=∠4
（1）求证：AB=DB；
（2）若点P在线段BC上，求证：AP=DP；
（3）如图②，点P在线段BC的延长线上，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP=DP．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定方法“ASA”即可证明△ABC≌△DBC，进而可得AB=DB；
（2）证明△ABP≌△DBP即可得到AP=DP；
（3）由SAS证△ABP≌△DBP，得出对应边相等即可．

解答 （1）证明：在△ABC和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{BC=BC}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB；
（2）证明：由（1）得：AB=DB，
在△ABP和△DBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP；
（3）证明：同（1）得：△ABC≌△DBC，
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．