Question

如图，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O交AB于C．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接CD，若CD=7，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OD，如图，先根据内角和定理计算出∠ADB=120°，加上∠ADO=∠A=30°，则可计算出∠ODB=∠ADB-∠ADO=90°，于是根据切线的判定定理可判断DB为⊙O的切线；
（2）根据三角形外角性质得∠DOC=∠ADO+∠A=60°，则可判断△ODC为等边三角形，得到OC=CD=7，∠OCD=60°，由于∠OCD=∠B+∠CDB，∠B=30°，所以∠CDB=30°，得到CB=CD=7，然后利用AB=OA+OC+CB进行计算．

解答：解：（1）BD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ADB=180°-2×30°=120°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ADO=90°，
∴OD⊥DB，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠DOC=∠ADO+∠A=60°，
而OD=OC，
∴△ODC为等边三角形，
∴OC=CD=7，∠OCD=60°，
而∠OCD=∠B+∠CDB，
∴∠CDB=30°，
∴CB=CD=7，
∴AB=OA+OC+CB=7+7+7=21．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．