Question

13．如图，正方形BCPQ对角线交于点A，将一块等腰直角三角形中45°角的顶点放在A点，斜边AG所在的直线交BC于点D，直角边AH所在的直角交BC于点E．
（1）在边BC上取一点M，连接AM，AD平分∠BAM，求证：AE平分∠MAC；
（2）在（1）的条件下，请判断BD、CE、DE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC，由AD平分∠BAM，可得∠BAD=∠DAM即可推出∠EAM=∠EAC．

解答 （1）证明：∵∠DAE=45°，
∴∠DAM+∠EAM=45°，
在正方形BCPQ中，BP⊥CQ，∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC
AD平分∠BAM，
∴∠BAD=∠DAM
∴∠EAM=∠EAC 即AE平分∠MAC．

（2）解：结论：BD²+CE²=DE²．
证明：延长AM到点F，使AF=AB，
在正方形BCPQ中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAD=∠DAM  由（1）知，∠EAM=∠EAC，
又AF=AF，
∴△FAD≌△BAD，△FAE≌△CAE，
∴∠AFD=∠ABC=45°，DF=BD，∠AFE=∠ACB=45°，EF=EC，
∴∠DFE=90°，
在Rt△DEF中，DF²+EF²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

点评 本题考查正方形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．