Question

2．在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴上，且OA=4，OC=3．

（1）求对角线OB所在直线的解析式；
（2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M．
①判断△OBM是什么三角形，并说明理由；
②试求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，C的坐标，进而得出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线OB的解析式；
（2）①利用折叠的性质得出，∠BON=∠AOB，再∠AOB=∠CBO，即可∠BON=∠CBO，即可得出结论；
②先求出CM，进而得出点M的坐标，利用待定系数法即可得出结论．

解答 解：（1）在矩形OABC中，BC∥OA，AB∥OC，BC=OA=4，BC=OA=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∴B（4，3），
设直线OB的解析式为y=kx，
∴4k=3，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x；
（2）①由折叠知，BN=AB=OC=3，ON=OA=4，∠BON=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠AOB=∠CBO，
∴∠BON=∠CBO，
∴OM=BM，
∴△OBM是等腰三角形，
②设CM=x，∴OM=BM=4-x，
在Rt△OCM中，OC=3，根据勾股定理得，OM²-CM²=OC²，
∴（4-x）²-x²=9，
∴x=$\frac{7}{8}$，
∴M（$\frac{7}{8}$，3），
设直线MN的解析式为y=ax，
∴$\frac{7}{8}$a=3，
∴a=$\frac{24}{7}$，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{24}{7}$x．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，待定系数法，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△OBM是等腰三角形．