Question

10．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N．
（1）求证：△ABE≌△EDA；
（2）求证：点M是AD的黄金分割点．

Answer 1

分析 （1）根据正五边形的性质得到AB=DE=AE，∠BAE=∠AED=108°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据正五边形的性质得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，于是得到AE²=AD•AM，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=DE=AE，∠BAE=∠AED=108°，
在△ABE与△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAE=∠AED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EDA；

（2）∵∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，
∴△AME∽△AED，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AD•AM，
∵AE=DE=DM，
∴DM²=AD•AM，
∴点M是AD的黄金分割点．

点评 本题考查了正五边形的性质、全等三角形的判定和性质，黄金分割，熟记正五边形的性质是解题的关键．